凯撒密码

什么是凯撒密码？

凯撒密码是一种替换密码（Substitution Cipher），也被称为移位密码（Shift Cipher）。它的加密过程非常简单：将明文中的每一个字母，用字母表上固定距离的另一个字母来替换。

这个“固定的距离”就是加密的密钥（Key）。

例如，如果我们选择的密钥是 3，那么：

字母 A 会被替换成字母表中向后移动 3 位的 D。
字母 B 会被替换成 E。
…
字母 X 会被替换成 A（因为 X -> Y -> Z -> A，字母表是循环的）。
字母 Y 会被替换成 B。
字母 Z 会被替换成 C。

这个过程就像是将整个字母表向左平移了 3 位，形成了一个新的对应关系。

加密示例 (密钥 = 3):

明文 (Plaintext): HELLO WORLD
密文 (Ciphertext): KHOOR ZRUOG

凯撒密码的数学表示

尽管凯撒密码很简单，但我们依然可以用数学语言来精确地描述它。我们将字母表中的每个字母映射为一个数字（例如，A=0, B=1, …, Z=25）。

设：

P 为明文字母对应的数字。
C 为密文字母对应的数字。
k 为密钥（位移量）。

那么，加密过程可以表示为： $$ C = (P + k) \pmod{26} $$

解密过程则是加密的逆运算，即向前移动 k 位： $$ P = (C - k) \pmod{26} $$

这里的 mod 26 (模26) 运算是关键，它完美地实现了字母表的循环。例如，当加密 X (23) 且密钥为 3 时： C = (23 + 3) mod 26 = 26 mod 26 = 0，对应的字母是 A。

当解密 A (0) 且密钥为 3 时： P = (0 - 3) mod 26 = -3 mod 26。在模运算中，-3 和 23 是同余的，所以结果是 23，对应的字母是 X。

如何破解凯撒密码？

凯撒密码的安全性极低，因为它存在致命的弱点。主要有两种破解方法：

1. 暴力破解 (Brute-force Attack)

由于英文字母只有 26 个，所以可能的密钥也只有 25 种（密钥为 0 或 26 没有意义，因为明文和密文会一样）。攻击者可以简单地将所有可能的密钥（从 1 到 25）全部尝试一遍，直到解密出的文本有意义为止。这个过程对于计算机来说是瞬时完成的。

2. 频率分析 (Frequency Analysis)

在任何一种自然语言中，不同字母的出现频率是有统计规律的。例如，在英语中，字母 E 的出现频率最高，其次是 T, A, O 等。

攻击者可以统计密文中每个字母的出现频率，找到出现次数最多的那个密文字母。它有极大的概率对应明文中的 E。一旦确定了这一对映射关系（比如密文 H 对应明文 E），就可以立即推算出密钥 k（从 E 到 H 的位移是 3），从而破解整个密码。

C++ 代码实现

下面是一个完整的 C++ 程序，它实现了凯撒密码的加密和解密功能。代码结构清晰，并包含了详细的注释。

#include <iostream>
#include <string>
#include <cctype>

std::string caesarEncrypt(const std::string& text, int shift);
std::string caesarDecrypt(const std::string& text, int shift);

int main() {
    std::string message;
    int shift;

    std::cout << "=====================================" << std::endl;
    std::cout << "      凯撒密码加密/解密程序" << std::endl;
    std::cout << "=====================================" << std::endl;

    std::cout << "\n请输入要处理的消息: ";
    std::getline(std::cin, message);

    std::cout << "请输入移位量 (0-25 之间的整数): ";
    std::cin >> shift;

    shift = shift % 26;
    if (shift < 0) {
        shift += 26;
    }

    std::string encryptedMessage = caesarEncrypt(message, shift);
    std::cout << "\n加密后的密文是: " << encryptedMessage << std::endl;

    std::string decryptedMessage = caesarDecrypt(encryptedMessage, shift);
    std::cout << "解密后的明文是: " << decryptedMessage << std::endl;

    return 0;
}

/**
 * @brief 对给定的文本进行凯撒加密
 * @param text 要加密的明文
 * @param shift 移位密钥 (0-25)
 * @return 加密后的密文
 */
std::string caesarEncrypt(const std::string& text, int shift) {
    std::string result = "";
    for (char c : text) {
        if (isalpha(c)) {
            char base = isupper(c) ? 'A' : 'a';
            // Apply encryption formula: C = (P + k) % 26
            result += static_cast<char>((c - base + shift) % 26 + base);
        } else {
            result += c;
        }
    }
    return result;
}

/**
 * @brief 对给定的文本进行凯撒解密
 * @param text 要解密的密文
 * @param shift 移位密钥 (0-25)
 * @return 解密后的明文
 */
std::string caesarDecrypt(const std::string& text, int shift) {
    std::string result = "";
    for (char c : text) {
        if (isalpha(c)) {
            char base = isupper(c) ? 'A' : 'a';
            result += static_cast<char>((c - base - shift + 26) % 26 + base);
        } else {
            result += c;
        }
    }
    return result;
}